试题内容

如图，△ABC在平面直角坐标系中，AB=AC，A(0，2√2)，C(1，0)，D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个过程运动时间最少，求点D的坐标.

(相关资料图)

解法分析

作DE⊥AB于点E，设点P在ED、CD上的运动速度相等.

在三角形ABO中，AO=2√2，OB=OC=1，

所以AB=3，sin∠BAO=1/3，所以AD=3ED，

因为点P在AD上的运动速度是在ED上的3倍,

所以点P在ED、AD上的运动时间相等，

所以路径ADC的运动时间等于路径EDC的运动时间.

当C、D、E三点共线(即CE⊥AB于点E)时，运动路程最短，同时运动时间最短.

根据等面积法：AB×CE=BC×AO，解得：CE=(4√2)/3，

在直角三角形AEC中，利用勾股定理可得：AE=7/3，

因为AD=3ED，可设ED=x，AD=3x，

在直角三角形AED中，利用勾股定理可得：x=(7√2)/12，

所以yD=OA-3x=√2/4，即点D的坐标为：(0，√2/4).

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